Pentru a găzdui multitudinea de numere cu care s-a întâlnit omenirea a construit monumente considerabile: sistemele de numeraţie. Universul numerelor posedă particularităţi care îl fac unic printre toate creaţiile umane.
SISTEME DE NUMERATIE
Se
numeste sistem de numeratie, o multime finita de simboluri
(sau cifre) si de reguli folosite pentru reprezentarea unui numar. Un
sistem de numeratie pozitional este un sistem de numeratie la
care aportul unei cifre în valoarea totala a unui numar depinde atât
de valoarea cifrei, cât si de locul ocupat de cifra în reprezentarea
numarului respectiv. Sistemul de numeratie arab este un sistem de
numeratie pozitional, spre deosebire de sistemul de numeratie
roman care nu este un sistem pozitional.
Sistemul de numeratie binar
Sistemele de numeratie folosite
de catre utilizatorii de calculatoare, în afara de sistemul zecimal,
sunt: sistemul binar, sistemul octal si sistemul hexazecimal. Sistemul
binar este sistemul de numeratie în
care lucreaza calculatoarele electronice, datorita faptului ca
nu are decât doua cifre, ceea ce duce la o implementare usoara a
calculelor în hardware. Sistemele de numeratie octal si hexazecimal
sunt folosite deoarece comprima sirurile lungi de biti din
reprezentarea unui numar în baza 2, iar conversia din baza 2 in baza 8 sau
16, 747f59h si invers, se face foarte usor, fara calcule
laborioase.
INTERDEPENDENTA
SISTEMELOR DE NUMERATIE
Desi
sistemul binar
este cel utilizat pentru stocarea si prelucrarea datelor intr-un calculator
electronic, atat redarea scrisa cat si cea orala este greoaie din cauza
numarului mare de cifre necesare pentru a exprima chiar valori relativ mici.
Acesta este motivul pentru care se folosesc in mod curent sisteme de numeratie
cu baze mai mari, dar care permit trecerea imediata in binar, conditie a
oricarui sistem la care baza este o putere naturala a lui 2.
Cele
mai utilizate sisteme, din acest punct de vedere, sunt sistemul octal (cu baza 8) si sistemul
hexagesimal - pe scurt "hexa"- (cu baza 16). Pentru ca 8 =
23 si 16 = 24 , orice cifra octala se poate reprezenta
printr-o combinatie de 3 cifre binare si orice cifra hexa, printr-o combinatie
de 4 cifre binare.
Asadar,
sistemul octal utilizeaza cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7. Pentru a reprezenta cele 16
cifre ale sistemului hexagesimal sunt necesare 16 semne grafice distincte:
primele 10 dintre acestea coincid cu cifrele sistemului zecimal, iar pentru
restul de 6 se folosesc primele litere ale alfabetului latin (A,B,C,D,E,F). 
Stim urmatoarea regula de reprezentare a unui numar zecimal:1234= 1*103+2*102+3*10+4
Trecerea
din sistemul binar in sistemele octal, zecimal si hexa
Trecerea din sistemul binar in sistemul octal
Pentru
trecerea unui numar scris in sistemul binar la echivalentul sau scris in octal
se procedeaza astfel: se grupeaza cifrele binare in grupe de cate 3 incepand cu
prima cifra din dreapta dupa care pentru fiecare grup se cauta in tabelul 1, pe
coloana corespunzatoare sistemului binar, combinatia respectiva dupa care, de
pe acelasi rand din coloama sistemului octal se extrage cifra corespondenta.
De
exemplu, numarul 11010 se scrie 011 010. In tabelul 1 se cauta in coloana
sistemului binar randul pe care se gaseste combinatia 011; pe acelasi rand in
coloana sistemului octal se afla cifra 3. Similar, pentru combinatia 010 se
gaseste cifra 2, astfel ca numarul octal echivalent numarului binar 11010 este
32.
11010(2) = 32(8)
Prin aceeasi metoda
se poate trece si numarul 10110011(2)
10110011(2)
= 010 110 011(2) = 263(8)
Trecerea din sistemul binar in sistemul
zecimal
Trecerea
din sistemul binar in sistemul zecimal se face utilizand relatia
si
tabelul 1 in care sunt trecute valorile in zecimal ale puterilor bazelor
sistemelor de numeratie binar, octal si hexagesimal.
Pentru
numarul 11010(2) trecerea se face astfel:
11010(2)
= 1x24 +1x23 +0x 22 +1 x 21 + 0x20
= 16+8+0+2+0 = 26(10)
iar
pentru numarul 10110011(2) se obtine:
10110011(2)
= 1 x 27 + 0 x 26 + 1 x 25 + 1 x 24
+ 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
= 128+ 32 + 16+ 2+ 1= 179(10)
Trecerea din sistemul binar in sistemul hexazecimal
Pentru
trecerea unui numar scris in sistemul binar la echivalentul sau scris in
hexagesimal se procedeaza astfel: se grupeaza cifrele binare in grupe de cate 4
incepand cu prima cifra din dreapta dupa care, pentru fiecare grup, se cauta in
tabelul 1, pe coloana corespunzatoare sistemului binar, combinatia respectiva
dupa care, de pe acelasi rand din coloana sistemului hexagesimal se extrage
cifra corespondenta.
Numarul 11010 in
sistemul binar se scrie 1 1010 si din tabelul 1 se extrag valorile 1 si A deci:
11010(2)
= 11010(2) = lA(16)
Pentru celalalt numar
se obtine:
10110011(2)
=10110011(2) =B3(16)
Tabelul 2-Valorile in zecimal
ale puterilor bazelor sistemelor de numeratie binar, octal si hexazecimal
Puterea
|
Baza
|
||
2
|
8
|
16
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
8
|
16
|
2
|
4
|
64
|
256
|
3
|
8
|
512
|
4096
|
4
|
16
|
4096
|
65536
|
5
|
32
|
32768
|
1048576
|
6
|
64
|
262144
|
16777216
|
7
|
128
|
2097152
|
268435456
|
8
|
256
|
16777216
|
|
9
|
512
|
134217728
|
|
10
|
1024
|
||
Trecerea
din sistemul octal in sistemele binar, zecimal sau hexa
Procedeele
de trecere din sistemul octal in celelalte 3 sisteme de numeratie.
Trecerea din sistemul octal in sistemul binar
Aceasta operatie se
face inlocuind fiecare cifra octala cu grupul corespunzator de 3 cifre binare:
3657(8)
= 011 110 101 111(2) = 11110101111(2)
Trecerea din sistemul octal in sistemul zecimal
Pentru efectuarea
acestei treceri se utilizeaza relatia de baza
baza de numeratie
fiind 8:
263(8)
= 2 x 82 +6x81 +3 x 80 = 128+48+3=179(10)
sau
3657(8)
= 3x83 +6x82 + 5x 81 +7x80 =
1536+384+40+ 7 = 1967(10)
Trecerea din sistemul octal in sistemul hexazecimal
Trecerea
din sistemul octal in sistemul hexagesimal se face prin intermediul sistemului
binar de nurneratie adica se trece mai intai (ca in exemplul de mai sus) in
sistemul binar de numeratie iar de aici, prin intermediul grupelor de cate 4
cifre binare, la sistemul de numeratie hexagesimal:
3657(8)
= 011110 101111(2) = 11110101111(2) = 7af(16) =
7 AF(16)
sau, un alt exemplu
713(8)
= 111 001 011(2) = 0001 1100 1011(2) = 1CB(16)
Trecerea
din sistemul zecimal in sistemele binar, octal sau hexagesimal
Pentru
trecerea din sistemul zecimal in unul dintre sistemele binar, octal sau
hexagesimal este necesar sa se gaseasca cifrele care inmultesc fiecare
putere naturala a bazei sistemului respectiv. In acest scop se poate aplica
urmatorul procedeu:
- Se imparte cu rest (impartire intreaga) numarul zecimal dat, la baza sistemului in care se face trecerea;
- Catul obtinut in pasul precedent se imparte, de asemenea cu rest, la aceeasi baza, repetand aceste impartiri pana se obtine catul zero;
- Resturile rezultate in urma impartirilor succesive, luate in ordinea inversa obtinerii lor si scrise de la stanga la dreapta, constituie cifrele numarului cautat.
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul binar
Pentru
reprezentarea numarului 179(10) in binar se procedeaza astfel:
179 : 2 = 89 rest 1
89 : 2 = 44 rest 1
44 : 2 = 22 rest 0
22 : 2 = 11 rest 0
11 : 2 = 5 rest 1
5 : 2 = 2 rest 1
2
: 2 = 1 rest 0
1
: 2 = 0 rest 1
Numarul
cautat este 10110011 (2);
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul octal
Reprezentarea
numarului 3817(10) in octal:
3817 : 8 = 477 rest 1
477 : 8 = 59 rest 5
59 : 8 = 7 rest 3
7 : 8 = 0 rest 7
Numarul cautat este 7351(8)
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul hexagesimal
Reprezentarea
numarului 51434(10) in
hexazecimal:
51434:16= 3214 rest 10 =A(16)
3214 : 16 = 200 rest 14 = E(16)
200 :
16 = 12 rest 08 = 8(16)
12 : 16 = 0 rest 12 = C(16)
Numarul
cautat este C8EA(16)
Trecerea
din sistemul hexagesimal in sistemele binar, octal sau zecimal
Trecerea din sistemul
hexagesimal in sistemul binar
Pentru
a trece din hexagesimal in binar, se va inlocui fiecare cifra
hexagesimala cu grupul de 4 cifre binare corespunzatoare:
5CA(16) = 0101 1100 1010(2) =
10111001010(2)
Trecerea din sistemul
hexagesimal in sistemul octal
Aceasta
transfromare se face, ca si in cazul trecerii din octal in hexagesimal, prin
intermediul sistemului de numeratie binar, adica:
A1FB(16) = 1010 0001
1111 1011(2) = 001 010 000 111 111 011(2) = 120773(8)
Trecerea din sistemul
hexagesimal in sistemul zecimal
Operatia
de trecere se realizeaza prin intermediul relatiei:
C8EA(16) = 12 x 163
+ 8 x 162 + 14 x 161 + 10 x 160 =
= 12 x 4096 + 8 x 256 + 14 x 16
+ 10 =
= 51434(10)
OPERATII ARITMETICE IN SISTEME DE NUMERATIE UZUALE
Dupa
cum era de asteptat, operatiile aritmetice, cunoscute inca din clasele primare,
din sistemul zecimal se pot efectua in oricare sistem de numeratie prin
adaptarea regulilor de calcul general valabile la specificul fiecarui sistem in
parte.
Astfel,
in sistemul zecimal, 10 - 1 = 9. Nu acelasi lucru se intampla in celelalte
sisteme de numeratie, pentru ca baza este alta:
- in
binar: 10(2) - 1(2) = 1(2)
- in
octal: 10(8) - 1(8) = 7(8)
- in
hexagesimal: 10(16) - 1(16) = F(16)
si, evident
- in
binar: 1(2) + 1(2) = 10(2)
- in
octal: 1(8) + 7(8) = 10(8)
- in
hexagesimal: 1(16) + F(16) = 10(16)
Poate
fi imaginata si o tabla a inmultirii pentru sistemele binar, octal sau
hexagesimal.
Tinand
cant de faptul ca cele mai frecvente operatii sunt cele de adunare si scadere,
in continuare se vor prezenta exemple numai cu aceste operatii. Pentru
efectuarea unei adunari sau scaderi cu numere formate din mai multe cifre, se
va proceda conform celor cunoscute din primele ore de aritmetica, adica plasand
cele doua numere unul sub celalalt si efectuand operatia respectiva pe coloana,
din dreapta spre stanga, "transportand" la coloana din stanga eventualele
"depasiri" ale pozitiei curente.
Adunarea a doua numere in sistemul binar
Sa
se calculeze 10110110(2) +
1100011(2)
10110110 +
1100011
100011001
Calculand pentru
fiecare pozitie, de la dreapta la stanga, avem:
0+1=1;
1+1
=10, deci se scrie
0 iar 1 se aduna la pozitia din stanga;
1+1+0=10, deci se scrie 0 iar 1 se aduna la
pozitia din stanga;
1+0+0=1 ... ...
Adunarea a doua numere in sistemul octal
Sa
se calculeze 37764(8) + 51432(8)
37764 +
51432
111416
Operatiile se desfasoara
similar celor aratate la exemplul precedent:
4+2=6;
6+3=11;
1+7+4=14;
1+7+1=11;
1+3+5=11 ... ...
Adunarea a doua numere in sistemul hexagesimal
Sa
se calculeze A3 8C(16) + 6B28(16)
A38C +
6B28
10EB4
Succesiunea
calculelor:
C+8=14;
1+8+2=B;
3+B=E;
A+6=10.
Scaderea a doua numere in sistemul binar
Sa
se calculeze 100011001(2) - 1100011(2)
100011001 -
1100011
10110110
Si aici calculul se
face incepand cu prima pozitie din dreapta si continuand apoi spre stanga:
Pozilia 1: 1-1=0; .
Pozilia 2: 100-1=011, deci in
pozitiile 4 si 3 din primul numar avem acum 01 in loc de 10; Pozilia 3:
1-0=1;
Pozilia 4: 0-0=0 ... ...
Scaderea a doua numere in sistemul octal
Sa
se calculeze 111416(8) - 51432(8)
111416 -
51432
37764
Succesiunea
calculelor:
6-2=4;
41-3=36;
13-4=7;
10-1=7;
10-5=3
Scaderea a doua numere in sistemul hexagesimal
Sa
se calculeze A38C(16) - 6B98(16)
A38C -
6B98
37F4
Succesiunea
calculelor:
C-8=4;
38-9=2F;
A2-B=97;
9-6=3
Reprezentarea unor numere in diferite baze
Sistemul
|
|||
Binar
|
Octal
|
Hexa
|
Zecimal
|
0000
|
0
|
0
|
0
|
0001
|
1
|
1
|
1
|
0010
|
2
|
2
|
2
|
0011
|
3
|
3
|
3
|
0100
|
4
|
4
|
4
|
0101
|
5
|
5
|
5
|
0110
|
6
|
6
|
6
|
0111
|
7
|
7
|
7
|
1000
|
10
|
8
|
8
|
1001
|
11
|
9
|
9
|
1010
|
12
|
A
|
10
|
1011
|
13
|
B
|
11
|
1100
|
14
|
C
|
12
|
1101
|
15
|
D
|
13
|
1110
|
16
|
E
|
14
|
1111
|
17
|
F
|
15
|
Комментариев нет:
Отправить комментарий